Уравнение поперечного и продольного изгиба железобетонного стержня с учетом ползучести бетона

Крылов С. Уравнение поперечного и продольного изгиба железобетонного стержня с учетом ползучести бетона // Бетон и железобетон. 2003 . №6. C. 22-23


При деформировании железобетонных элементов ползучесть проявляется в более сложной форме, чем при деформировании бетонных образцов при одноосном сжатии. Это связано с неоднородностью напряженного и деформированного состояния бетона в сечении элемента, а также с неоднородностями самого материала (наличие трещин, армирования). Из-за сложностей проявления ползучести в большинстве современных теорий расчета железобетонных стержневых конструкций применяются не вполне строгие подходы к построению уравнений изгиба.

Проведенные в НИИЖБе исследования позволили построить уравнения изгиба в наиболее строгой форме в рамках теории стержневых систем. При этом все сложные явления, связанные с ползучестью, учитывались не на стадии описания работы отдельного волокна, а интегрально, для всего сечения в целом. Окончательные уравнения представлены не в виде уравнений для упругого материала (метод упругих решений), а в виде уравнений для упруго-ползучего тела.

При выводе уравнения изгиба принимались обычные предпосылки стержневой теории. Материал рассматривался как однородный и обладающий симметрией упругости и ползучести при растяжении и сжатии. Характеристики упругости и ползучести подбираются в зависимости от продольной силы N и изгибающего момента М в данном сечении так, чтобы кривизна оси расчетной модели совпадала с кривизной оси железобетонного стержня в той же точке. Правило знаков принималось в соответствии с расчетной моделью (см. рисунок)..

Для произвольного сечения стержня можно составить два уравнения равновесия

где dF - элемент площади; Ф - область интегрирования, соответствующая данному поперечному сечению.

Для перехода от напряжений к относительным деформациям воспользуемся уравнением линейной теории ползучести (в форме закона релаксации). Под ядром релаксации будем понимать некоторое усредненное по всему сечению ядро, а для участка с трещинами оно будет усредненным еще и по длине участка между трещинами. Очевидно, что такое ядро не будет совпадать с соответствующими ядрами, используемыми при описании ползучести бетона. Тем не менее проведенные исследования показывают, что такое ядро удается построить на основании известных ядер теории ползучести бетона.

В соответствии с изложенным запишем уравнение следующим образом:



где обозначено ядро релаксации, относящееся к сечению в целом (на некотором участке длины стержня).

С учетом сделанных замечаний и допущений подставляем выражение для напряжений





Для перехода от относительных деформаций к кривизне воспользуемся законом плоских сечений (см. рисунок)

Расчетная модель

где уо - координата оси, соответствующая нулевым относительным деформациям, зависящая от t при меняющихся во времени N и М.

Подставляем это выражение дляв последнюю систему уравнений и интегрируем по dF. В том случае, когда оси в сечении совмещены с его центром тяжести, статические моменты обращаются в ноль и система приобретает следующий вид:





Система уравнений (З.а , З.б) содержит две неизвестные величины. Причем во второе уравнение входит только кривизна. Поэтому это уравнение достаточно для описания изгиба стержня. Первое же уравнение может быть использовано для вычисления

Ядро релаксации RS вычисляется из условий наилучшего соответствия уравнения изгиба экспериментальным данным или соответствующим аналитическим зависимостям для некоторой известной (ключевой) истории нагружения. При этом по экспериментальным или аналитическим данным для ключевого нагружения строится функция k(M,t), построенная поверхность делится на участки, которые в направлении координаты М в любом временном сечении t=const описываются линейной функцией (точно или приближенно). Соответственно, в направлении координаты t при M=const каждый участок описывается нелинейной функцией.

В результате проведенных исследований для каждого i-гo участка было предложено следующее наиболее универсальное выражение для ядра релаксации


Здесь В- неизвестная постоянная, которая является общей для всех линейных по М участков поверхности "k-М"; - неизвестные постоянные, которые принимают разные значения на каждомлинейном по М участке. Слагаемое, содержащее, создает недостающий резкий подъем поверхности, изображающей RS в момент перехода на новый кусочно-линейный по М участок зависимости "k-М". Слагаемое, содержащее, создает недостающий крутой подъем вдоль оси

Подстановка ядра в формулу с учетом условий стыковки отдельных частей поверхности k(M,t) приводит к следующему уравнению:



где начальная точка координатной системы i-гo линейного участка; время tо- фиксированное, соответствует переходу на i-тый линейный участок.

Заменяем кривизнуи затем дважды дифференцируем полученное уравнение для перехода к дифференциальному уравнению 4-го порядка, после преобразований окончательно получаем следующее уравнение изгиба:



В ряде случаев возможно также использование дифференциального уравнения по переменной х второго порядка.

Полученное уравнение позволяет выполнить четыре граничных условия, меняющихся во времени. Оно также позволяет корректно описать поведение стержневой конструкции при скачкообразном изменении нагрузки в некоторый момент времени, а также при нелинейном изменении механических свойств материала, например, при возникновении трещин (путем изменения величин). Проведенное сопоставление решения уравнения (6) с опытными данными для балок на двух шарнирных опорах под действием поперечных сосредоточенных сил, вызывающих появление трещин, показало высокую степень совпадения теоретических и опытных результатов.